Remark. differentiability $\implies$ continuity [br913]

When $\vec{h} \to 0$, $$ \begin{align*} \lVert \vec{F}(\vec{x} + \vec{h}) - \vec{F}(\vec{x}) \rVert &= \lVert \vec{F}(\vec{x} + \vec{h}) - \vec{F}(\vec{x}) - A \vec{h} + A \vec{h} \rVert \\ &\leq \lVert \vec{F}(\vec{x} + \vec{h}) - \vec{F}(\vec{x}) - A \vec{h} \rVert + \lVert A \vec{h} \rVert \\ &\leq \lVert \vec{h} \rVert + \lVert A \rVert \cdot \lVert \vec{h} \rVert \\ &= (\lVert A \rVert + 1)\lVert \vec{h} \rVert. \end{align*} $$ Hence $\vec{F}$ is continuous at $\vec{x}$, provided that $\vec{F}$ is differentiable at $\vec{x}$.